Nejprve ukážeme, že $A^{-1}$ je regulární. Pokud $A^{-1}x = 0$ má řešení, pak $x = I_nx = AA^{-1}x = A0 = 0$.
Existuje tedy $(A^{-1})^{-1}$ a dostáváme $A^{-1}A = A^{-1}AI_n = (A^{-1}A)(A^{-1}(A^{-1})^{-1})$.

Nejprve ověříme, že operace skládání je na této množině uzavřená. Ověříme, že permutace je bijektivní:

• pro $\forall i,j \in {0, \dots, n} : i \neq j \implies p(i) \neq p(j) \implies q(p(i)) \neq q(p(j))$, permutace je tedy injektivní (prostá)
• $(\forall i \exists j : q(j) = i) \land (\forall j \exists k : p(k) = j) \implies (\forall i \exists k : q(p(k)) = i)$, permutace je tedy surjektivní (na)

Snadno nahlédneme, že skládání permutací je zároveň asociativní. Množina všech permutací bude také obsahovat inverzní prvek ($p^{-1}$) a identitu (neutrální prvek, $id \in S_n : \forall i : id(i) = i$).

Cyklus $(1, \dots, k)$ lze rozložit např. podle: $(1, 2, \dots, k) = (1, k) \circ (1, 2, \dots, k - 1) = (1,k) \circ (1, k - 1) \circ (1, 2)$.

Počet inverzí $(q\circ p) = in(p) + in(q) - 2|\{(i,j) : i < j \land p(i) > p(j) \land q(p(i)) < q(p(j))\}|$. Nejprve sečteme všechny inverze v p, poté všechny inverze v q, a poté odstraníme inverze, které se vyskytují v p i q, jelikož se nám ve složené permutaci vyruší.

$sgn(p^{-1} \circ sgn(p)) = sgn(p)sgn(p^{-1}) = sgn(id) = 1$.
Jedničku můžeme dostat buďto vynásobením dvou 1 nebo dvou -1, platí tedy, že se musí rovnat.

$0a = 0a + 0 = 0a + (0a - 0a) = (0 + 0)a - 0a = 0a - 0a = 0$.

$(-1)a = -1a + 0 = -1a + (1a - a) = (-1 + 1)a - a = 0a - a = -a$.

Pokud $a = 0 \implies ab = 0$, jinak existuje $a^{-1}$ takové, že $aa^{-1}b = 0 \implies 1b = 0 \implies b = 0$.
Alternativně si můžeme rovnou říct, že $a \neq 0 \land b \neq 0 \implies \exists a^{-1}, b^{-1} \implies 1 = aba^{-1}b^{-1} = 0a^{-1}b^{-1} = 0$, což je spor.

• Dopřednou implikaci dokážeme tím, že pokud by p bylo složené, pak $\exists a,b : ab = p \equiv 0 (\bmod p)$. To však vede ke sporu s $ab = 0$.
• Zpětnou implikaci dokážeme tím, že najdeme inverzní prvek ke každému prvku, čili $\forall a \in \{1, \dots, p - 1\} \exists a^{-1} \in \{1, \dots, p - 1\} : aa^{-1} \equiv 1 (\bmod p)$. Nejprve najdeme takové zobrazení $f_a:\{1, \dots, p - 1\} \rightarrow \{1, \dots, p - 1\}$, takové, že $f_a(x) = (ax) (\bmod p)$. Pokud ke každému a existuje inverzní prvek, obor hodnot $f_a$ musí nutně obsahovat 1, jinak takový prvek neexistuje. Zobrazení tedy musí být surjektivní a jelikož je na konečné množině, musí být nutně injektivní. To dokážeme sporem: $\exists b,c : f_a(b) = f_a(c) \implies 0 = f_a(b) - f_a(c) \equiv ab - ac = a(b-c) (\bmod p)$. Tedy buď se jedno z $b,c = 0$ (což nejde, protože 0 se nenachází v $Z_p$), nebo a i (b-c) dělí p, což je spor s tím, že p je prvočíslo (a má tedy pouze triviální dělitele).

Zobrazení $f_a : x \rightarrow ax$ je v $Z_p$ bijektivní. Proto platí $\def\zpl#1{\prod\limits_{x=1}^{p-1}#1} \zpl{x} = \zpl{f_a(x)} = \zpl{ax} = a^{p-1}\zpl{x}$

• $0v = 0v + 0 = 0v + (0v - 0v) = (0 + 0)v - 0v = 0v - 0v = 0$.
• $a0 = a0 + 0 = a0 + (a0 - a0) = a(0 + 0) - a0 = a0 - a0 = 0$.

• $(-1)v = -1v + 0 = -1v + (1v - v) = (-1 + 1)v - v = 0v - v = -v$.
• Alternativně si můžeme říct, že tvrdíme, že se jedná o opačný vektor, tudíž $v + (-1)v = 0$. Ověříme: $v + (-1)v = 1v + (-1)v = (1 - 1)v = 0v = 0$.

Buď se a = 0, pak tvrzení platí. Pokud nikoliv, pak musí existovat $a^{-1} \implies v = 1v = aa^{-1}v = a^{-1}0 = 0$.

Ověříme, že W je uzavřen na operaci součtu a násobení.

• $\forall u,v \in W : u, v \in W \implies \forall i \in I : u,v \in U_i \implies \forall i \in I : u + v \in U_i \implies u + v \in W$.
• První implikace plyne z definice průniku, druhá z uzavřenosti vektorových prostorů nad součtem.
• $\forall t \in T, v \in W : v \in W \implies \forall i \in I : v \in U_i \implies \forall i \in I : tv \in U_i \implies tv \in W$.
• Opět první implikace plyne z definice průniku, druhá z uzavřenosti vektorových podprostorů nad skalárním součinem.

Báze podprostoru V je nezávislá v prostoru W. Můžeme ji rozšířit na bázi prostoru W, avšak přitom můžeme vektory pouze přidávat, takže určitě musí platit, že $dim(V) \leq dim(W)$.

Pro spor budeme předpokládat velikosti množin $|C| = n \land |B| = n+1$. Každý vektor z B si vyjádřím pomocí lineární kombinace vektorů z C (to mohu udělat, protože množina C generuje prostor V), dostanu tedy rovnici $b_i = \sum\limits_{i=1}^n a_ic_i \implies AC = B$, kde B a C jsou sloupcové matice vektorů B a C. Matice A bude mít n + 1 řádků a n sloupců, má tedy jeden lineárně závislý řádek, čili původní množina B má jeden lineárně závislý vektor.

$v = \def\vektorsum#1{\sum\limits_{i=1}^n #1} \vektorsum{a_ib_bi} = \vektorsum{a'_ib_i} \implies 0 = v - v = \vektorsum{a_ib_i} - \vektorsum{a'_ib_i} = \vektorsum{(a_i - a'_i)b_i} \implies a_i = a'_i$.

• $v = a_1c_1 + \dots + a_nc_n \implies c_j = \frac{1}{a_j}(v - \sum\limits_{i\neq j}a_ic_i)$
• Následně si zapíšu $u \in V$ jako lineární kombinaci vektorů z C, kde za $c_j$ dosadím výraz výše. Dostávám rovnici, kterou upravím následovně:

V poslední úpravě si uvědomím, že ve (3) mám dvě sumy, jednu rozepsanou a jednu zkrácenou. Obě však obsahují pouze $\forall i, i \neq j : c_i$, pouze s jinými koeficienty. Sepíšu je tedy do jedné sumy a dostávám upravený poslední řádek. (Pokud se učíte z prezentací pana profesora Fialy, vězte, že jeho značení je obráceně - iteruje přes j a cílové c značí indexem i.)

Dokážeme podle indukce přes $|B \setminus C|$. Pokud se $B \setminus C = \emptyset$, poté D = C. Jinak zvolíme libovolné b z B, které neleží v C, a položíme $B' = B \setminus b$. Protože množina B’ je lineárně nezávislá, podle indukčního předpokladu existuje D’ pro B’ a C taková, že:

• $span(D') = V$
• $B' \subseteq D'$
• $|D'| = |C|$
• $D' \setminus B' \subseteq C$

Následně použijeme lemma o výměně pro b a D’. Protože B je lineárně nezávislá, je $a_i \neq 0 : d_i \in D' \setminus B$. Potom $D = (D' \setminus d_i) \cup b$ splňuje všechny čtyři vlastnosti.

Stačí D (generující množinu) zúžit na lineárně nezávislou při zachování B.

Mějme báze B, C prostoru V, pak

• B nezávislá, C generuje V $\implies |B| \leq |C|$
• C nezávislá, B generuje V $\implies |C| \leq |B|$
  $\implies |B| = |C|$